L’infinito
(sommario)
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••› 1. Parte prima. Un infinito in atto non può essere pensato [pp. 7-18]
1.1. O l’infinito potenziale… [pp. 8-12]
1.2. … o Dio, l’infinito assoluto [pp. 13 18]
••› 2. Parte seconda. Gli infiniti in atto non possono essere pensati [pp. 19-35]
2.1. Dall’infinitesimo di Democrito al mistero delle dimostrazioni di Archimede [pp. 20-28]
2.2. La nuova scienza ha bisogno dell’infinito in atto [pp. 29-35]
••› 3. Parte terza. I primi paradossi dell’infinito [pp. 37-48]
3.1. I paradossi dell’infinito potenziale: Achille non raggiunge mai la tartaruga [pp. 38-41]
3.2. Il primo paradosso dell’infinito attuale: una parte non può essere «uguale» al tutto [pp. 42-48]
••› 4. Parte quarta. Georg Cantor scopre, misura e classifica il transfinito [pp. 49-82]
4.1. I numeri cardinali infiniti [pp. 50-59]
4.2. L’insieme di tutti i numeri naturali è solo l’infinito attuale più piccolo [pp. 60-67]
4.3. Una prima scala di infiniti di potenza via via crescente [pp. 68-71]
4.4. Una seconda scala infinita di infiniti: gli ordinali transfiniti [pp. 72-79]
4.5. Critica della critica della ragion pura [pp. 80-82]
••› 5. Parte quinta. Le antinomie. La crisi dei fondamenti [pp. 83-95]
5.1. Russell scrive a Frege: «Ho incontrato una difficoltà» [pp. 84-87]
[5.1.1] ‹Antinomia di Russell›
5.2. Le «classi totali» sono inconsistenti [pp. 88-91]
[5.2.1] ‹Antinomia di Cantor o della «classe totale»›
[5.2.2] ‹Antinomia di Burali-Forti›
5.3. La Biblioteca di Babele e il paradosso di Richard [pp. 92-95]
••› 6. Parte sesta. Non antinomie ma dimostrazioni per assurdo [pp. 97-120]
6.1. Esistono classi al di là degli insiemi [pp. 98-104]
6.2. Su di un linguaggio si parla in un altro linguaggio. Dalla Biblioteca di Babele alla Biblioteca di Cantor [pp. 105-113]
6.3. Costruibile e pensabile [pp. 114-120]
••› A. Appendici [pp. 121-138]
[A.1] I. Dio: un presente o un futuro? [pp. 123-131]
[A.2] II. Osservazioni critiche sui metodi dialettico-materialistico e storico-materialistico [pp. 132-138]
[A·2·1] 1. La rilevanza dialettica del metafisico Cantor
[A·2·2] 2. Le richieste della produzione e l’astuzia della ragione scientifica
••› B. Indici [pp. 139-142]
[B.1] Indice dei termini definiti [pp. 139-140]
[B.2] Indice dei nomi [pp. 141-142]
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di Lucio Lombardo Radice
Risvolto – 3ª di copertina
Lucio Lombardo Radice (Catania, 1916 – Bruxelles, 1982) matematico, pedagogista, scrittore e dirigente comunista è stato fra gli ideatori e sostenitori più preziosi dei «Libri di base». Fra le sue opere ricordiamo: ‹Istituzioni di algebra astratta› (Feltrinelli, 1965) e ‹Gli accusati› (Laterza, 1972).
Per gli Editori Riuniti ha diretto la rivista ‹Riforma della scuola› e l’enciclopedia ‹Ulisse› e pubblicato, fra l’altro, ‹L’educazione della mente› (1962), ‹La matematica da Pitagora a Newton› (1971), ‹Educazione e rivoluzione› (1976), ‹Un socialismo da inventare› (1979).
Art director: Luciano Vagaggini
All’interno (p. 2)
A Fabiola,
con amore finito,
ma sempre crescente
All’interno (p. 4)
Il presente testo riprende l’edizione del 1983 nella collana «libri di base» progettata e diretta da Tullio De Mauro
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GLOSSARIO
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• accademia (Accademia di Platone, 2) • accrescibile (assoluto non accrescibile)
• ‹aleph› (6)
• anima (Kant, 4ⁿ)
• antinomia (4-6, A)
• arbitrio (libero arbitrio, 4ⁿ)
• aritmetica (5-6)
• assioma (6; postulati, 1ª)
• assiomatico (impostazione assiomatica, 6)
• assoluto (l’assoluto, 4; Assoluto = Non accrescibile, A)
• assurdo (dimostrazione per assurdo, 2, 6)
• astrazione (livello di astrazione, 6)
• ateismo (ateismo naturale, A)
• atomismo (2)
• atomo (3)
• automatico (procedimento a., ‹computer›, automazioneª della produzione, A)
• autonomia (autonomia della scienza, A)
• baricentro (2)
• biblioteca (Biblioteca di Borges, Biblioteca di Cantor, 6)
• biunivoco (corrispondenza biunivoca, 3)
• cantoriano (matematica cantoriana, matematiche non cantoriane, concetto cantoriano, 4)
• caratteristica (funzione caratteristica, 4)
• cardinale (6; numero cardinale, numeri cardinali infiniti, 4; numeri cardinali transfiniti, 5, A)
• cardinalità (4, 6)
• categoria (6)
• classe (6; la classe di tutte le classi, classe totale, 5-6)
• coerenza (non-contraddittorietà, 6)
• combinatorio (analisi combinatoria, 5)
• computabile (funzione computabile, 6; computabilità, A)
• conoscenza (conoscenza umana-relativa, conoscenza divina-assoluta, 5)
• contestazione (contestazione del 1968, A)
• continuo (6; successione continua, 1; composizione del c., Cantor, 2; potenza del c., 4)
• contraddizione (5-6)
• contraddittorietà (contraddittorietà dell’Assoluto, A)
• coordinata (4)
• copernicano (sistema copernicano, 2)
• costruttivista (6)
• critica (Kant, A)
• deduttivo (metodo deduttivo, 1; procedimento deduttivo, 6)
• definizione (definizione dell’infinito, Dedekind, 3)
• depressione (di Cantor, A)
• dialettica (6, A)
• dimostrazione (2; dimostrazione per assurdo, 6)
• Dio (Kant, 4ⁿ; prova dell’esistenza di Dio, Anselmo d’Aosta, Dio contraddittorio, Dio-Evoluzione, Dio-Speranza, A)
• discreto (successione discreta, 1)
• enigma (enigma antropologico, enigma della natura, Bloch, A)
• ente (ente mentale, ente primitivo, 6)
• ‹entelechia› (1)
• equipotenza (4)
• eterologico (5)
• esaustione (metodo di esaustione, Eudosso, 2)
• esigenza (A)
• euclideo (geometria euclidea, geometrie non euclidee, 4)
• euristico (procedimento euristico, valore euristico, 2)
• evoluzione (teoria dell’evoluzione naturale, Darwin, A)
• fede (atto di fede, A)
• filosofia (1; f. aristotelico-tomistica, 2; f. dialettico-materialistica, f. cristiana, A)
• ‹forcing› (procedimento del ‹forcing›, Cohen, 6)
• geometria (1; geometria degli indivisibili, 2; geometria euclidea, 4)
• gerarchia (gerarchia di tipi, Russell, 6)
• hilbertiano (formalizzazione hilbertiana, A)
• ideologia (ideologia dominante, A)
• indecidibile (né vero né falso, 6)
• indivisibile (metodo degli indivisibili, 2)
• infinitesimale (calcolo infinitesimale, 2)
• infinito (l’infinito, 1; i. assoluto, 1, A; i. attuale, 1-4, A; i. intermedio, 4; i. potenziale, 1-4)
• insieme (5-6; i. infinito, i. potenza, equipotenza di 2 insiemi, 4; teoria generale degli insiemi, A)
• intelletto (1)
• intero (interi quadrati, 3)
• intuizionista (6)
• ipotesi (ipotesi del continuo, 4)
• ipotetico-deduttivo (metodo ipotetico-deduttivo, 6)
• irrazionale (numero irrazionale, 4)
• leva (principio di Archimede, 2)
• limite (passaggio al limite, 2; elemento-limite, ω, 4)
• linea (2; linea di pensiero, 1; continuo lineare, 1)
• lingua (6)
• linguaggio (6; l. corrente, l. tecnico, 4; l. filosofico, 1)
• logica (4)
• logistica? (5)
• matematica (1, 4, 6)
• materialismo (m. dialettico, m. meccanico, m. storicoª, A)
• meccanica (2)
• metafisica (A)
• metalinguaggio (6)
• metamatematica (1, 6)
• metodo (2)
• modello (6)
• moto (impossibilità del moto, 3)
• negazione (6; n. della ipotesi del continuo, n. del postulato delle parallele, 4)
• neutralità (neutralità della scienza, A)
• non-contraddittorietà (v. coerenza)
• numerabile (potenza del numerabile, 4)
• numerazione (numerazione decimale, numerazione binaria, 4)
• numero (n. intero, 1; numero naturale, 1)
• ontologia (6, A)
• ontologico (prova ontologica, A)
• ordinale (numeri ordinali, ordinali finiti, 4; ordinali transfiniti, 4-5)
• ordinamento (buon ordinamento, 4)
• parabola (2)
• paraboloide (2)
• paradosso (4, A; paradossi dell’infinito, 2; p. di Achille, 3; p. di Richard, 5)
• pensabilità (5)
• pensiero (p. matematico, p. umano, 4; p. astratto, 6)
• piramide (2)
• poligono (serie di poligoni, 2)
• postulato (1; postulato della scelta, Zermelo, 6)
• potenza (4; insieme potenza, 4)
• pre-cantoriano (6)
• precedente (v. successore, 4)
• predicato (5)
• pre-relativistico (spazio p., tempo p., 6)
• principio (principio della leva, 2)
• programma (programma di Hilbert, 6)
• proiezione (proiezione religiosa, Bloch, A)
• punto (1)
• quadrato (numeri quadrati, 4)
• quanto (un quanto, 2)
• ragione (A)
• razionale (numero razionale, 4)
• religione (A)
• rivoluzione (rivoluzione scientifica, A)
• scala (scala dei transfiniti, 4)
• scaloide (2)
• scelta (infinite scelte arbitrarie, 6)
• segmento (4)
• senso (5)
• separazione (assioma di separazione di Zermelo, 6)
• sezione (2)
• significato (5-6)
• similitudine (s. tra insiemi totalmente ordinati equipotenti, 4)
• singoletto (‹singleton›, 6)
• sopramondo (sopramondo di entità razionali, A)
• sottoinsieme (4)
• spirito (Spirito infinito, A)
• stringa (parola-stringa, 6)
• successione (4, 6; s. bene ordinata, 5)
• successore (v. precedente, 4)
• tempo (6)
• teologia (A; teologia cattolica, 2)
• teorema (1, 6)
• tipo (tipo ordinale, 4; gerarchia di tipi, 6)
• totalità (A; totalità relativa, Totalità assoluta, 6)
• transfinito (4-6, A)
• trasformazione (filosofia della trasformazione del mondo, Bloch, A)
• tratto (tratto iniziale, 4)
• uguaglianza (4)
• ultratransfinito (totalità ultratransfinite, 5)
• unità (unità cosmica, A)
• universo (Kant, 4ⁿ)
• ustorioª (specchi ustori, 2)
• vuoto (il vuoto, 1)
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Le cifre (1-6) si riferiscono alle parti del volume; A: appendici.
(ª) termine o espressione non esplicitamente contenuti nel testo.
(ⁿ) termine o espressione contenuti nelle note.
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COMMENTO
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Sotto quest’ultimo aspetto il volume va inquadrato nel suo contesto storico; dopo le vicende del ’68 e del ’77, con le trattative per il “compromesso storico” (accordo di governo tra DC e PCI) ancora in corso, c’era stato il rapimento di Aldo Moro (1978) e l’uccisione dello statista da parte delle Brigate Rosse; due anni dopo, constatato il fallimento della strategia del “compromesso storico” Enrico Berlinguer aveva annunciato l’adozione di quella dell’«alternativa democratica», che puntava invece all’esclusione della DC dalle forze di governo. Il processo di “slaicizzazione” del PCI era comunque già iniziato all’epoca della “svolta di Salerno” (1944), allorché Togliatti, su direttive dell’Unione sovietica (cioè di Stalin), aveva optato per una linea di compromesso con la monarchia, con Badoglio, e soprattutto con le gerarchie ecclesiastiche. Era un’epoca in cui già si stavano ponendo le basi del cattocomunismo che avrebbe condotto, molti anni dopo, alla formazione (e alla recente catastrofe, non solo in termini di risultati elettorali, ma soprattutto di smarrimento dell’identità di sinistra) del PD.
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ANNOTAZIONI E SPUNTI
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NOTA: nei testi originali, singoli termini o brevi espressioni vengono spesso evidenziate usando virgolette ‘semplici’, che abbiamo preferito rendere con quelle doppie o “inglesi”, più visibili; queste ultime sono a volte utilizzate nell’originale all’interno delle virgolette «angolari» che delimitano brani o espressioni citate da opere di altri autori (spesso per rappresentare un 2° livello di citazione), ma in nessun caso si genera ambiguità. Come d’abitudine, abbiamo rafforzato le evidenziazioni in corsivo mediante virgolette angolari ‹semplici› quando si trovavano all’interno del testo, mentre per ragioni di leggibilità ce ne siamo astenuti all’interno delle formule matematiche, e anche quando i simboli relativi erano inseriti nel testo.
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[] Lucio Lombardo Radice, ‹L’infinito›, Editori Riuniti (1981), 2006.
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